S3 - Matematické struktury

Pro snažší hledání prací podle autora, názvu nebo sekce použijte seznam prací. V případě špatné čitelnosti rovnic v abstraktu na webu, prosím použijte následující dokument ve formátu pdf - svocabst.pdf.


Algebraické a predalgebraické zvazy
Zuzana Drugdová
PF UPJŠ Košice
Ročník: 5.
Vedoucí práce: Doc. RNDr. Judita Lihová, CSc.

Abstrakt:

In this work we deal with algebraic and pre-algebraic lattices that are denoted as (Q) and (K). We show the relation between the classes (Q) and (K). We also study some operators on these classes, for example direct product and dual lattice. We prove, e.g. that classes (Q) and (K) are closed under operator of the direct product. On the other hand, we show that these classes are not closed under the operator of the dual lattice.

V tejto práci sa zaoberáme problematikou tried algebraických a predalgebraických zväzov, ktorú označujeme ako (Q) a (K). Ukážeme vzt’ah medzi týmito triedami, potom sa zameriame na uzavretost’ daných tried vzhl’adom na niektoré operátory ako direktný súčin a duálny zväz. Vzhl’adom na operátor direktného súčinu dokážeme uzavretost’ triedy (Q) resp.(K). Naopak ukážeme, že uzavretost’ týchto tried sa nezachová pre operátor duálneho zväzu.


Moduly konečně projektivní dimenze
Ondřej Kolenatý
MFF UK Praha
Ročník: 5.
Vedoucí práce: Doc. RNDr. Jan Trlifaj, CSc.

Abstrakt:

Tato práce se zabývá moduly konečně projektivní a injektivní dimenze. Uvádíme některá základní fakta o těchto modulech a vyvíjíme nástroje pro práci s nimi. Pro -noetherovské okruhy dokážeme, že každý modul projektivní dimenze nejvýše n má -filtraci pomocí modulů projektivní dimenze nejvýše n. Dále ukážeme, že pro libovolný okruh existuje kardinál takový, že pro každý modul M injektivní dimenze nejvýše n a jeho podmodul N mohutnosti nejvýše existuje podmodul N' mohutnosti nejvýše takový, že a jak N' tak M/N' mají injektivní dimenzi nejvýše n ( -filtrace však obecně nemusí existovat podle Faith-Walkerovy věty).


On the longest alternating path connecting points on a circle
Jan Kynčl
MFF UK Praha
Ročník: 3.
Vedoucí práce: Doc. RNDr. Pavel Valtr, Dr.

Abstrakt:

Let n be a positive integer and let n red and n blue points lie on a circle at the vertices of a convex 2n-gon. For , a sequence of segments is called an alternating path of length k, if are pairwise different vertices of the 2n-gon, every segment connects points of different colors and no two segments , intersect at inner point. Let P(n) be the maximum number such that for every configuration of n red and n blue points there exists an alternating path of length at least P(n). We show that there exist positive constants n0, c1, c2 such that for every n > n0


On list chromatic number of cartesian product of two graphs
Jozef Miškuf
PF UPJŠ Košice
Ročník: 5.
Vedoucí práce: Prof. RNDr. Stanislav Jendroľ, DrSc.

Abstrakt:

Given a list L(v) of colours for each vertex v of graph G, we say that a vertex colouring is acceptable if every vertex is coloured with a colour on its list and no two adjacent vertices are assigned the same colour. The list chromatic number of a graph G, denoted , is a minimum r, which satisfies: if every list has at least r members then there is an acceptable colouring. Let colouring number of graph G, denoted col(G), be . We deal with a problem formulated by M. Borowiecki and S. Jendrol’:

Let denote list chromatic number of G and let be the Cartesian product of graphs G and H. Does there exist an absolute constant c such that . If answer is YES, how big is c? Does c = 1 ?

We prove that if T is a tree and G is an arbitrary graph , then . For arbitrary graphs G and H we prove a weaker upper bound . In the second part we bound list chromatic number of for arbitrary graph G asymptotically as follows: for


Choosability of graphs with infinite sets of forbidden differences
Pavel Nejedlý
MFF UK Praha
Ročník: 5.
Vedoucí práce: RNDr. Daniel Kráľ

Abstrakt:

We study the notion of the list-T-coloring which is a common generalization of the T-coloring and the list-coloring. Given a graph G, a set of non-negative integers T and a list-assignment L for each vertex of G, the graph G is said to be T-colorable from the list-assignment L if there exists a coloring c such that the color c(v) of each vertex v is contained in its list L(v) and for any two adjacent vertices u and v. The T-choice number of a graph G number is the minimum integer k such that G is T-colorable for any list-assignment L which assigns each vertex of G a list of at least k colors.

We study the properties of list-T-colorings with infinite sets T. For this purpose, the concept of goodness of a set T, which is proportional to the T-choice number of K2, is introduced. We show that for any set T of integers the T-choice number of K2 is finite if and only if the T-choice number is finite for any non-trivial graph. For the case when the T-choice number of K2 is finite, two upper bounds on the T-choice number of a graph G are provided: one being polynomial in the maximum degree of the graph G and one being polynomial in the goodness of the set T.


Využitie Gröbnerových báz na dôkazy viet elementárnej geometrie
Peter Novotný
Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave
Ročník: 5.
Vedoucí práce: RNDr. Jaroslav Guričan, CSc.

Abstrakt:

Touto prácou predstavujeme teóriu Gröbnerových báz v okruhoch polynómov viacerých premenných. Popisujeme základné vlastnosti redukcie a usporiadania termov, dôvod existencie a algoritmus na nájdenie bázy. Poukazujeme na jednoznačnost' redukovanej Gröbnerovej bázy. Ukazujeme využitie Gröbnerových báz pri dokazovaní viet elementárnej geometrie pomocou výpočtovej techniky. Využívame pritom postup navrhnutý Kapurom. Základom je preformulovanie geometrického problému pomocou analytickej geometrie do polynomického tvaru a následné určenie doplňujúcich podmienok. Účinnost' tejto metódy prezentujeme na riešení geometrických dôkazových úloh posledných dvadsiatich ročníkov Medzinárodnej matematickej olympiády.


The simplest subspace of generators of the 2x2-matrix algebra M2(C) and of the 3x3-matrix algebra M3(C)
Renata Otáhalová
MÚ Slezská Univerzita Opava
Ročník: 5.
Vedoucí práce: Doc. RNDr. Tomáš Kopf, Ph.D.

Abstrakt:

The simplest subspaces of generators of the complex 2×2 and 3×3 - matrix algebras are found. Simplicity is measured by the number of parameters in the free resolution of the algebra. The result for 2×2 - matrices was presented at the competition SVOČ in Banská Bystrica last year and provided Clifford generators (Pauli matrices) as a solution. The problem of the 3×3-matrix algebra M3(C) is not a straightforward extension of the case     M2(C), as there are no Clifford generators. It is shown here that another well-known subspace of generators, the Lie algebra su(2) provides the solution. This work will be submitted as the author’s diploma thesis.


Steinerovské farbenie kubických grafov
Dávid Pál
Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave
Ročník: 5.
Vedoucí práce: Doc.RNDr. Martin Škoviera, CSc.

Abstrakt:

Farbenie kubického grafu pomocou steinerovského systému trojíc je farbenie jeho hrán tak, aby farby každej trojice hrán majúcej spoločný vrchol tvorili trojicu steinerovského systému. Hlavným výsledkom mojej práce je, že kubické grafy bez sériovoparalelného konca (t.j. všetky steinerovsky zafarbitel'né grafy vöbec) sú zafarbitel'né steinerovským systémom     AG(1,3)×PG(2,2) rádu 21. Ďalej sa podarilo úplne charakterizovat' triedu kubických grafov zafarbitel'ných afínnymi steinerovskými systémami AG(n, 3) pre


Charakterizácia triedy minimálnych 4-geodeticky súvislých grafov
Jozef Škorupa
Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave
Ročník: 5.
Vedoucí práce: Prof.RNDr. Ján Plesník, DrSc.

Abstrakt:

Graf G nazývame k-geodeticky súvislý (k-GC), k > 0, ak je súvislý a je potrebné odstránit' aspoň k vrcholov na to, aby sa zvätšila vzdialenost' medzi nejakými dvoma vrcholmi, alebo sa G zredukoval na jediný vrchol, alebo sa G stal nesúvislým. Minimálny k-GC graf má najmenší počet hrán spomedzi všetkých k-GC grafov s rovnakým počtom vrcholov. V tejto práci definujeme triedu tzv. k-ticových grafov, ktorá je základom pre triedy minimálnych k-GC grafov a charakterizujeme triedu minimálnych 4-GC grafov.


Tilting modules over artin algebras
Jan Šťovíček
MFF UK Praha
Ročník: 6.
Vedoucí práce: Doc. RNDr. Jan Trlifaj, CSc.

Abstrakt:

An existence of tilting modules is in many cases ensured by well-known theoretical results. But their inner structure is often still under investigation. In this work we give an explicit description of the structure of a family of 1-tilting modules over a finite dimensional algebra by Igusa, Smalo and Todorov, where the presently known results could not be applied. Also, we describe the lattice of all tilting classes of a finite type over this algebra; and we give examples of modules from a tilting class, which are not reachable from finitely generated modules of the same tilting class by direct limits. As a means for achieving these results, we show a general version of the Auslander-Reiten formula. Finally, we outline a possible approach for investigating the conjecture that every 1-tilting class is of a finite type for a large family of rings. In particular, we show that a finite type of a given 1-tilting class cannot be determined by looking only at its pureinjective modules. This work uses main results of my diploma work.


Komplexita a balance nekonečného slova odpovídajícího kvadratickým Pisotovým číslům
Ondřej Turek
FJFI ČVUT Praha
Ročník: 3.
Vedoucí práce: Doc. Ing. Edita Pelantová, CSc.

Abstrakt:

Při daném lze každé nezáporné číslo reprezentovat tzv. -rozvojem, který představuje zobecnění běžného vyjádření čísel v desítkové soustavě. Jsou-li v tomto rozvoji všechny koeficienty u záporných mocnin nulové, hovoříme o -celém číslu. Lze ukázat, že pro speciální volbu , totiž uvažujeme-li kvadratické Pisotovo číslo, jsou mezi sousedními -celými čísly pouze dva typy vzdáleností. Označíme-li tyto dvě vzdálenosti písmeny A a B a zapíšeme jejich pořadí, dostaneme nekonečnou posloupnost. Již dříve bylo ukázáno, že je-li kladným kořenem polynomu , pak příslušné slovo je balancované a rovněž byl stanoven vztah pro komplexitu. V případě jiných kvadratických Pisotových čísel byl podán důkaz, že balanční funkce (viz dále) je omezená, nicméně její horní mez (tedy ani optimální horní mez) nebyla známa; komplexita nebyla prozkoumána vůbec.

V předložené práci tyto otázky do určité míry zodpovíme. Práce se skládá ze dvou částí: První část je věnována speciálnímu případu Pisotova čísla, číslu , které je kořenem polynomu . Provedeme úvahy nad strukturou jemu příslušejícího nekonečného slova, za pomocí kterých nalezneme explicitní tvar funkce vyjadřující komplexitu. Dále stanovíme optimální horní mez balanční funkce; konkrétně ukážeme, že se jedná o 2-balancované slovo.

Ve druhé části se budeme zabývat zobecněním výsledku první práce týkajícího se balancovanosti nekonečných slov odpovídajících kvadratickým Pisotovým číslům. Nalezneme horní mez balanční funkce slova příslušejícího obecnému kvadratickému Pisotovu číslu a ukážeme, že tato mez je optimální. Závěrem se krátce zmíníme o případu, kdy kořen polynomu není Pisotovým číslem; je známo, že potom není balanční funkce příslušného nekonečného slova omezená. Bude podán vlastní důkaz neomezenosti.


Související odkazy: